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开普勒第二定律的证明介绍如下：
根据角动量守恒定律，行星绕恒星运动的轨道都是椭圆，且恒星处在椭圆的某个焦点上 。
极坐标形式下 ，面积元为dS=(1/2)(r^2)dθ。
根据角动量守恒定律 ，行星的角动量L=m(r^2)w=Const，其中w=dθ/dt。
代入上面的求得的r? ，可以得到dS=L/(2mw)dθ 。
得到开普勒第二定律：对于任意一个行星来说 ，其与恒星的连线（极径）扫过的面积S与运动时间t成正比 。
开普勒第二定律
开普勒行星运动第二定律，也称面积定律 ，指的是太阳系中太阳和运动中的行星的连线（矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。?
该定律是德国天文学家约翰尼斯·开普勒发现的三条开普勒定律之一 。最初刊布在1609年出版的《新天文学》中 ，该书还指出该定律同样适用于其它绕心运动的天体系统中 。
开普勒第二定律是对行星运动轨道更准确的描述，为哥白尼的日心说提供了有力证据 ，并为牛顿后来的万有引力证明提供了论据 ，和其他两条开普勒定律一起奠定了经典天文学的基石。
开普勒定律
也统称“开普勒三定律 ”，也叫“行星运动定律 ” ，是指行星在宇宙空间绕太阳公转所遵循的定律 。由于是德国天文学家开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表 ，通过他本人的观测和分析后，于1609～1619年先后早归纳提出的，故行星运动定律即指开普勒三定律 。
具体内容
开普勒在1609年发表了关于行星运动的两条定律：
开普勒第一定律（椭圆定律）：每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳 ，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。
开普勒第二定律（面积定律）：从太阳到行星所联接的直线在相等时间内扫过同等的面积 。
用公式表示为：SAB=SCD=SEK
1609年 ，这两条定律发表在他出版的《新天文学》 。
1618年，开普勒又发现了第三条定律：
开普勒第三定律（调和定律）：所有的行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
用公式表示为：a^3/T^2=K
a=行星公转轨道半长轴
T=行星公转周期
K=常数
1619年 ，他出版了《宇宙的和谐》一书 ，介绍了第三定律，他写道：
“认识到这一真理 ，这是超出我的最美好的期望的 。大局已定 ，这本书是写出来了，可能当代有人阅读 ，也可能是供后人阅读的 。它很可能要等一个世纪才有信奉者一样 ，这一点我不管了。”
开普勒定律的意义
首先，开普勒定律在科学思想上表现出无比勇敢的创造精神。远在哥白尼创立日心宇宙体系之前 ，许多学者对于天动地静的观念就提出过不同见解 。但对天体遵循完美的均匀圆周运动这一观念 ，从未有人敢怀疑 。开普勒却毅然否定了它。这是个非常大胆的创见 。哥白尼知道几个圆合并起来就可以产生椭圆，但他从来没有用椭圆来描述过天体的轨道 。正如开普勒所说，“哥白尼没有觉察到他伸手可得的财富”。
其次 ，开普勒定律彻底摧毁了托勒密的本轮系 ，把哥白尼体系从本轮的桎梏下解放出来，为它带来充分的完整和严谨 。哥白尼抛弃古希腊人的一个先入之见 ，即天与地的本质差别 ，获得一个简单得多的体系 。但它仍须用三十几个圆周来解释天体的表观运动。开普勒却找到最简单的世界体系，只用七个椭圆说就全部解决了 。从此 ，不须再借助任何本轮和偏心圆就能简单而精确地推算行星的运动 。
第三 ，开普勒定律使人们对行星运动的认识得到明晰概念。它证明行星世界是一个匀称的（即开普勒所说的“和谐 ”）系统 。这个系统的中心天体是太阳，受来自太阳的某种统一力量所支配 。太阳位于每个行星轨道的焦点之一。行星公转周期决定于各个行星与太阳的距离 ，与质量无关。而在哥白尼体系中 ，太阳虽然居于宇宙“中心 ”，却并不扮演这个角色 ，因为没有一个行星的轨道中心是同太阳相重合的 。
由于利用前人进行的科学实验和记录下来的数据而作出科学发现 ，在科学史上是不少的 。但像行星运动定律的发现那样，从第谷的20余年辛勤观测到开普勒长期的精心推算，道路如此艰难 ，成果如此辉煌的科学合作 ，则是罕见的。这一切都是在没有望远镜的条件下得到的！
发现
被称为“星子之王”的第谷·布拉赫在天体观测方面获得不少成就，死后留下20多年的观测资料和一份精密星表 。他的助手开普勒利用了这些观测资料和星表 ，进行新星表编制 。然而工作伊始便遇到了困难 ，按照正圆轨道来编制火星运行表一直行不通，火星这个“狡猾家伙 ”总不听指挥 ，老爱越轨。经过一次次分析计算 ，开普勒发现，如果火星轨道不是正圆 ，而是椭圆 ，那么矛盾不就烟消云散了吗 。经过长期细致而复杂计算以后，他终于发现：行星在通过太阳的平面内沿椭圆轨道运行 ，太阳位于椭圆的一个焦点上 。这就是行星运动第一定律 ，又叫“轨道定律 ”。
当开普勒继续研究时，“诡谲多端”的火星又将他骗了 。原来，开普勒和前人都把行星运动当作等速来研究的 。他按照这一方法苦苦计算了1年 ，却仍得不到结果。后来他发现 ，在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数，而是在相等时间内 ，行星与太阳的联线所扫过的面积相等 。这就是行星运动第二定律 ，又叫“面积定律 ” 。
开普勒又经过9年努力，找到了行星运动第三定律：太阳系内所有行星公转周期的平方同行星轨道半长径的立方之比为一常数 ，这一定律也叫“调和定律 ”。
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